《逻辑哲学论》与数学的不完备性证明的联系

乐不眠

毕导是b站的一位科普Up,其教学内容既有一定深度又简单易懂,文案生动幽默,视频图文并茂,可以说是一位不可多得的好up,接下来讲的关于数学证明的内容我主要了解于这个视频,单单一个视频肯定了解不够深刻的,因此若有错误,欢迎指教.

【毕导】这个视频里说的都是真的，但你却永远无法证明_哔哩哔哩_bilibili
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再开始总结这个视频之前,我先总结一下<逻辑哲学论>中我们需要的内容,来自于商务印书馆的汉译世界学术名著丛书,这样再看视频或许能够一次理解很多,许多来自于罗素的导言,维特根斯坦是他的学生.
"关于哲学问题所写的大多数命题和问题,不是假的而是无意义的.因此,我们根本不能回答这类问题,而只能确定它们的无意义性.哲学家们的大多数问题和命题,都是因为我们不懂得我们语言的逻辑产生的.它们都是像善是否比美更为同一或者更不同一之类的问题"

语言的不完善性
一个事实(词语)如何要能够成为另一个事物的符号?维特根斯坦思考的是"一个符号能够精确的意指另一个事物"的条件,而不会带来任何歧义,事实上,通常意义上的语言总是有歧义的,模糊的,这为人们的信息交流带来很多不便和矛盾.
关于这个问题被提炼为两个问题
一:符号的结合成为有意义的而非无意义的条件
二:符号或符号的结合成为唯一意指的条件

语言的基本职能是断言或否认事实,给定一种语言的句法,只要知道各组分语词的意指,一个语句的意指也就确定.为使某个语句确实的断言某个事实,不论语言如何构成,在语句的(逻辑)结构和事实的(逻辑)结构之间必须有某种共同的东西.罗素说"并且他争辩说,这个共同的东西本身反过来是无法被说出来的,按照他的用语,他只能被显示,而不能说出,因为我们不管说什么,仍然需要有这同样的结构."看来罗素对于维特根斯坦的这一观点不尽认同,不过我是认同的,但是为了大家理解还是斗胆向这个定理提出"挑战".

我提出一个事实,"我吃了一个苹果",怎么知道这个事实是真是假呢?这句话显然不够完善,因为它没有说我是在什么时候吃点苹果,那么我吃过的苹果数不胜数,这个事实为真,这就是语言的歧义属于被提炼的第一个问题,时间是无限的,哪怕是我个人的存活时间也是可以无尽微分的无限,那么如果不能精确的指示时间邻域或是某一时刻,这相当于在指示整个世界,让语言的对象失去意义,比如对象"苹果",换成其他我可以吃的东西,都可以,这让"苹果"失去了特殊性,从而失去了很多意义.

假如我说"我刚刚吃了个苹果",那么是一分钟前?还是十分钟前呢?这是一个词语的歧义,属于第二个问题.
最后怎么认定这个语句确实是在断言这个事实呢?也许它说的不是"我吃苹果"而是'"苹果吃我"?逻辑在于这个语句的逻辑结构,"吃","进食"都是我这个人类会做出的行为,苹果是做不出来的,语句中的"我"消耗了这个苹果,这一逻辑结构和事实的逻辑结构具有相同的结构.

同理,我是不能在同一时间,吃苹果的时候吃橘子的,所以苹果的意义(特殊性)回来了.

如果你学过计算机的数据结构以及数据库,那么可以理解,对象之间的联系如果确定,那么如果一个作业里的情形的逻辑结构要求和另一个作业要求相同,那么只要把对象的名称改一改就可以交了.

维特根斯坦因此设想了一种理想语言或者说符号系统.
一:每一个简单物都有自己的名称,两个简单物决不能有相同名称.
二:非简单物不会有简单的符号,代表一个整体的符号是一个包含代表各个部分的所有符号(以某种结构组成)的"复合物"

世界上的复合物是一个事实,那些不是由其他事实组成的事实就是"事态",一个或多个事态组成事实.
"这支笔是蓝色的"是一个事态,"这个桌上的笔是蓝色的"是一个事实.
一个事态必须和另一个事态产生某种共同的联系才能推导出事实,从单个的事态的真或假推不出另一个事态的真或假"这只笔是蓝色的"和"这只笔在桌子上"才能推出"这个桌上的笔是蓝色的"."这只笔是蓝色的"也推不出"这只笔在桌子上".
这个世界上真的有简单物吗?原先我们认为是原子,后来证明了电子和质子的存在,现在我们知道了夸克.
事态就是原子事实,对象就是简单物这里罗素为了方便读者理解,用原子和分子来形容.
维特根斯坦坚持必须有简单物的理由,是每个复合物都以一个事实为前提,无须假设复合物是否有限,即使每一个事实由无数的原子事实组成,并且每一个原子事实由无数的对象(简单物)组成,也仍然有对象和和原子事实.

"我们给我们自己建造事实的图像"图像是实在的模型,图像的要素对应于实在中的图像:图像本身是一种事实.只是图像更加抽象事物彼此具有一定关系这个事实,被图像者他的要素彼此具有一定关系，被这个事实所描绘."在图像和被图示者中必须有某种同一的东西,因此前者才能是后者的图像."

维特根斯坦如果去学编程一定会是个大师,以c语言所写的链表这个图像所示
typeof struct node{
   struct node *next
   elemtype data
}node *list


void setlist(list &L){
  L=new node;
  L->next=null;
}

上面是一段c语言定义链表的代码,或者node是链表的节点,这是一个单向链表,前面的节点可以导向后面的节点,而后面的却不能导向前面的.
按我的理解,这就是一种图像,假设我们现在在开一个餐馆,顾客下单,我们按照先来后到的原则完成订单,那么就可以使用这个图像,这个链表,把一个个订单的数据作为节点导入,因为链表的单向顺序结构和我们的先来后到原则有同一性.
假如知道所有的原子事实,并且知道这就是这些原子事实的全部(相当于完全知道了他们的结构或者说图像),那么我们就可以完全的描述世界.听起来有点机械决定论,不过维特根斯坦并没有这种意思,不过今天可能不会解释这个.
前面说过,原子命题就是事态,没有一个原子命题蕴含任何别的原子命题,或者和别的原子命题发生矛盾,因此逻辑推理的工作就全部交给了分子命题.

维特根斯坦的分子命题理论依赖于他的真值函项结构理论,通俗理解下来,就是或,且,非,打了那么多字,也累了,就先写到这里,也许明天或后天我会更新,我觉得聪明的同学结合视频也许能够猜到我要说什么了.
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运用上述的逻辑分析,我们可以很好的解释忒休斯之船,当我们说忒休斯之船的时候,船是作为一种由船体,发动机,螺旋桨等组成的复合物,这个悖论提出的问题总结下来就是由简单物组成的复合物,在简单物从逻辑结构也就是从图像中更换的时候,复合物的本质问题.

事实上,船没有变,船还是那艘船,认为船已经不是原来那艘船的观点忽视了简单物之间的逻辑结构从而组成了复合物,也就是忽视了图像,对于复合物来说,简单物不过是随时可替换的具有同一性的简单物,如果不是,比如ae86换上f35的发动机,那么ae86确实不是原来的ae86,在这里,船如果并没有进行类似的升级改造,而只是更换了具有完全同一性的部件,那么这些部件所构成的图像依然没变,船也就没有变化.

说回真值函项,这应该是最后需要了解的,假设命题f(x)全为真,则满足所有x代入其中,f(x)为真,反之,如果至少有一个x代入后,f(x)为假,则"f(x)对于x的所有值为真"这个命题为假.

维特根斯坦认为一组命题的真值函项应该以"非p和非q"来构成.

x代表的是一个原子命题,f(x)则代表着另一个命题,"f(x)对于x的所有值为真"则是二者的真值函项所决定的复合物,当然熟悉所谓真值函项,依我看也可以叫做布尔值.

维特根斯坦的方法指示,所有的非原子命题都可以用一个统一的方法从原子命题推导出来,命题就是从原子命题的总体(加上这就是它们的总体这个事实)所得到的全部东西.

维特根斯坦对于老师的总结不尽满意,在我看来是正常的,维特根斯坦认为命题是有节奏的,其实也就是原子命题和命题之间相互的逻辑结构,罗素竟然讲了维特根斯坦的理论有一个例外,也就是"a相信b"那么这个命题的真与假与b的真值函项无关,这一事实在维特根斯坦的理论之外,这一说法是忽视了维特根斯坦说过的逻辑结构,复合物的事物不是简单相加而是有节奏的相乘.
译者此时在底下注解,罗素的前后说法矛盾,按照他之前的说法,"a相信b"那么这个命题的真与假与b的真值函项有关,也是因为罗素没有完全理解维特根斯坦的理论,所以产生了矛盾.

讲到这应该也就够了,下面开始总结一下视频.

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有点懒,我害怕,再不写,就永远不会写了,以后绝对不乱写东西了orz.
长话短说,草草了结吧.

第一,需要再次明确的一点是<逻辑哲学论>在维特根斯坦晚年被他大部分推翻了,但是正如罗素说的,任何一个严肃的求知的哲学家都应该读一读,所以我们姑且不是抱着"正确答案"来着,只是试图锻炼一下.

那么现在说一说哥德尔证明的瑕疵,
一:一个本质的瑕疵,哥德尔所建立的证明过程,是建立在近代的数学符号系统之上,数学符号系统本身是人类为了阐释自然规律而发明的一种符号语言,所以即便哥德尔证明了一种不完备,那么也只是人类数学符号系统的不完备,而不是数学的不完备.

二:即便是现在,数学符号系统也是不停进步的,那么建立在旧的系统上的证明,不见得就可以支持新的证明.

三:一种符号语言只能是天生的,含义是只能显示的,一个完善的符号语言不能通过另一种不完善的符号语言建立.
哥德尔和维特根斯坦一样,试图建立一种完全简单物组成的完美语言,按照他的方法所建立的数学命题,每一个都是独一无二的,问题在于,数学符号系统中很多时候也会有长着相同记号,运算符号,实际上完全意义不同的时候,那么这时候,哥德尔建立的符号系统就不得不寄托于人们去辨识翻译原初数学命题中的内在逻辑,这样建立的语言,其归根究底是来自于于"原码".

3.33:"在逻辑句法(完美语言)中,记号的指谓决不应起任何作用.逻辑句法应该无须提到记号的指谓而建立起来;它仅仅以表达式的描述为前提"

5.452:"在逻辑的符号系统中引入任何一种新的手段都必然是一个重大事件,在逻辑中,一种新的手段不能以所谓漫不经心地态度在括号或者脚注中引入.(如在罗素和怀特海的<数学原理>中就出现了用文字表达的定义和基础命题.为什么这里忽然出现文字呢?这是需要说明理由的,但是没有提出理由,也必然提不出理由,因为这种程序事实上是非法的.)但是,如果证明在某处引入一种新的手段是必要的,我们就应立即追问:这种手段在哪些地方是必须用到的?必须弄清楚它在逻辑中的地位."

四:数的极限
应该说现代数学早已经发展到远不止于整数,而哥德尔的证明却仅仅只用了有限整数所构建的逻辑,这显然在数理上不能认为是充分的.

五:关于悖论

3.332:"没有一个命题能够作出关于自身的陈述,因为一个命题记号不能包含于它自身之中."

理发师是一种职业,是出于分工而产生的,其天然是为他人服务的,其所指谓的"人--服务对象"本身就不包括他自己.

一个人如果无所顾忌无规则的说要杀掉所有人,那么他还是人吗?
马克思主义说,人是一切社会关系的总和,这个人要自绝与"一切社会关系",又怎么算"人"呢,因此现代法律,也往往将其归纳为恐怖分子,取消一切为人的生身权利,判处死刑.
从而我们从逻辑学上发现了达尔文的<进化论>,一头白牛或是一头黄牛,那自然都是牛,但如果一头牛长出了一种新的器官,可以为整个种群,自身提供别一种服务,那就事实上成了别一种物种,这头牛如果不断发展,以至于数量(在人类社会往往这种工作因为世袭制,私有制进行以家庭为单位的继承)达到一定规模就成了种,继续发展则成了属,以此类推,包含着量变引起质变的哲学原理.

我们是人类,那么可以说这都是"鸟",但是对于"鸟"们而言,它们却实实在在不是同一物种.


而在人类社会,这种分工则表现为资本主义制造业的分工对人的抽象和异化,换言之,因为分工,人不同于人了,事实上因为工作经验的专业化,成了不同的种,并且因为这种情况,原先原始共产主义下的"人"的概念,在生物学上短期内还有效用(事实上不少疾病已经展现分化,资产阶级的性病,肥胖病,无产阶级的粉尘病,肺病,癌症,小资产阶级的抑郁症,癔症

某种智力上和身体上的畸形化，甚至同整个社会的分工也是分不开的。但是，因为工场手工业时期大大加深了劳动部门的这种社会分裂，另一方面，因为它以自己特有的分工才从生命的根源上侵袭着个人，所以工场手工业时期也首先给工业病理学提供了材料和刺激力。

.),但是从社会学上再也不能指代事实上有着不同器官的人类.

到此为止，我们的立足点还是简单协作，它在人和物方面的材料都是现成的。但是很快就发生了本质的变化。专门从事马车制造的裁缝、钳工、铜匠等等，逐渐地失去了全面地从事原有手工业的习惯和能力。另一方面，他们的片面活动现在取得了一种最适合于狭隘活动范围的形式。起初，马车工场手工业是作为独立手工业的结合出现的。以后，马车生产逐渐地分成了各种特殊的操作，其中每一种操作都形成为一个工人的专门职能，全部操作由这些局部工人联合体来完成。同样，织物工场手工业以及一系列其他工场手工业，也是由不同的手工业在同一个资本的指挥下结合起来而产生的。

如果我们进行更仔细的考察，那末首先就可以清楚地看到，终生从事同一种简单操作的工人，把自己的整个身体变成这种操作的自动的片面的器官，因而他花费在这一操作上的时间，比循序地进行整个系列的操作的手工业者要少。但是，构成工场手工业活机构的结合总体工人，完全是由这些片面的局部工人组成的。

现在总体工人具备了技艺程度相同的一切生产素质，同时能最经济地使用它们，因为他使自己的所有器官分离而成为特殊的工人或工人小组，各自担任一种专门的职能。局部工人作为总体工人的一个器官，他的片面性甚至缺陷就成了他的优点。从事片面职能的习惯，使他变成本能地准确地起作用的器官，而总机构的联系迫使他以机器部件的规则性发生作用。
　　由于总体工人的各种职能有的比较简单，有的比较复杂，有的比较低级，有的比较高级，因此他的器官，即各个劳动力，需要极不相同的教育程度，从而具有极不相同的价值。因此，工场手工业发展了劳动力的等级制度，与此相适应的是工资的等级制度。一方面，单个工人适应于一种片面的职能，终生从事这种职能；另一方面，各种劳动操作，也要适应这种由先天的和后天的技能构成的等级制度。然而，每一个生产过程都需要有一些任何人都能胜任的简单操作。现在，这一类操作也断绝了同内容较充实的活动要素的流动的联系，硬化为专门职能。

从而我们说即便是把命题中的理发师换成人"一个人只给不自己理发的人理发",这个人也事实上不是原来的人,因为大部分人不会理发(在这一点我们可以发现维特根斯坦提出的完美语言,即原子事物在资本主义下是不能存在的,资本主义不停造成既定的分化,来创造"新词","烂梗","笑话").

开头的毕导爱不爱拖更,也是出于语言的模糊性,形而上学的"爱"只有转化为物质的力量,才是我们可以认识的,而"爱"也是因为物质的力量形成的,这个过程是不间断的,连续的,因此我们必须对何种行为算拖更进行严格明确的定义,而如果是这样,我们就得不出两个自相矛盾的结论.

到这里就结束了吧,一点拙笔,拾人牙慧,感谢阅读.

乐不眠

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“换言之一个公理体系可能不够完善，无法给出某些数学问题的证明”，所以自在的“数学”是没有得到阐述的，证明的也只是“唯我”的数学，也就是人们通过现象构建的公理体系。

视频最后提到自指，毕导也提到过。
首先

3.332:"没有一个命题能够作出关于自身的陈述,因为一个命题记号不能包含于它自身之中."

所以维特根斯坦最后总结说，“世界的意义在于世界之外”就是如此了，维特根斯坦说，通常语境下的对世界的命题失去作用，是因为完全的同一性没有意义，而世界之外和世界之内自然不是同一的，应该还有更大的世界包裹，所以这和他前面的描述没有矛盾。

当下的数学确实是不完备的，这更加证明了数学需要引进逻辑学的必要性，来改进数学的符号系统，公理体系。